20
2021
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正整数对的唯一解

失眠,原因很多

昨夜失眠,竟然是因为想到一个数学题

一开始是这样的,双方投掷2个骰子,一般的规则就是每个人用加法把自己的2个骰子点数加起来,然后比大小

但是有时候会出现双方相同的情况,比如1+6和2+5

所以就在想,如果排除掉点数完全一样的情况下,有没有一种数学算法,可以一次计算比出大小

扩展和归纳起来就是:

对于一个整数对a,b(ab不分先后,即1/6和6/1视为同一个整数对),设计一种算法,使得对于不同的整数对,计算出来的结果为整数且唯一?

想不到好的办法,一开始先试试乘法即f(a,b)=a*b

显然,这个算法很快就被排除了,原因很简单,比如2*3=1*6或者2*2 = 1*4

既然乘法不行,是不是可以和加法结合起来呢,比如f(a,b)=a*b+a+b

睡不着,想了2个小时,发现一个反例,2*3+2+3 = 11 = 1*5+1+5

好吧,自己解决不了,就去请求万能的朋友圈

恍恍惚惚,半睡半醒之间,感觉找到了突破口,就是查二维表

做游戏我们常常会有查表的操作,细细一想,不就是查个二维表么,只要构建一个可以利用一个一元公式构建的二维表就行

比如最简单有序的6*6的表

1 2 3 456
7 8 9 101112
13 14 15 161718
19 20 21 222324
152627282930
313233343536

那么对于每一行a和每一行b就可以得到唯一的解(a-1)*6+b=a*6+b-6,-6不影响所以也可以去掉

这么一推广就可以得到这样的公式

f(a,b)=a*N+b

但是很显然有个问题,比如对于f(a,b)=a*6+b来说

随便取个ab,比如3和4,结果为3*6+4 = 22,那么我也可以a取个2,然后找到b使得结果也为22,即2*6+10=22

难道这样是思路是错误的么?

再看2*6+10这个例子,可以看到原因在于表里面根本就没有第10列,所以数据是超出了查表的范围的

那怎么办?既然超出列数,我们增加列数就可以。让列处于我们可查询的范围内。那么

N的最小值可以等于b。

那么公式就简化为f(a,b)=a*b+b= (a+1)*b

从公式上看就很神奇,之前f(a,b)=a*b不行,但是a加了一个1就可以


那么怎么从数学上证明这个公式是可行的呢?

来个反证法,

如果存在2对不同的整数对(a1,b1)和(a2,b2),使得(a1+1)*b1 = (a2+1)*b2,那么我们的公式就是错误的,否则肯定是正确的。

好吧,下面不会了,等想到数学证明方法再继续

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